Trong không gian Oxyz, cho điểm \(A\left( {0;1;9} \right)\) và mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x – 3} \right)^2} + {\left( {y – 4} \right)^2} + {\left( {z – 4} \right)^2} = 25\). Gọi \(\left( C \right)\) là giao tuyến của \(\left( S \right)\) với mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\). Lấy hai điểm M,N trên \(\left( C \right)\) sao cho \(MN = 2\sqrt 5 \) . Khi tứ diện OAMN có thể tích lớn nhất thì đường thẳng MN đi qua điểm nào trong số các điểm dưới đây?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiMặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {3;4;4} \right)\), bán kính R = 5. Gọi \({r_C}\) là bán kính đường tròn \(\left( C \right)\).
Gọi H là tâm đường tròn \(\left( C \right) \Rightarrow H\left( {3;4;0} \right),IH \bot \left( {Oxy} \right), d\left( {I,\left( {Oxy} \right)} \right) = 4\).
\({r_C} = \sqrt {{5^2} – {4^2}} = 3, OH = 5 \Rightarrow O\) nằm ngoài đường tròn \(\left( C \right), d\left( {A,\left( {Oxy} \right)} \right) = 9\)
\({V_{OAMN}} = \frac{1}{3}d\left( {A,\left( {Oxy} \right)} \right).{S_{OMN}} = 3{S_{OMN}} = 3.\frac{1}{2}d\left( {O,MN} \right).MN = 3\sqrt 5 .d\left( {O,MN} \right)\)
Suy ra \({V_{max}} \Leftrightarrow d{\left( {O,MN} \right)_{max}}\)
.png.jpg.png)
Mà \(d\left( {O,MN} \right) \le OH + HK = 5 + \sqrt {{3^2} – {{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2}} = 7\) . (Với K là trung điểm MN)
Dấu bằng xảy ra khi \(OH \bot MN\). Khi đó MN có 1 véc tơ chỉ phương là \(\left[ {\overrightarrow {OH} ;\overrightarrow k } \right] = \left( {4; – 3;0} \right),\left( {\overrightarrow {OH} = \left( {3;4;0} \right),\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)} \right)\) và đi qua trung điểm K của MN.
\(\overrightarrow {OK} = \frac{7}{5}\overrightarrow {OH} \Rightarrow K\left( {\frac{{21}}{5};\frac{{28}}{5};0} \right)\).
Phương trình đường thẳng \(MN:\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{21}}{5} + 4t\\y = \frac{{28}}{5} – 3t\\z = 0\end{array} \right.\).
