Gọi \(z = x + yi\;\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)\) là số phức thỏa mãn hai điều kiện \({\left| {z – 2} \right|^2} + {\left| {z + 2} \right|^2} = 26\) và \(\left| {z – \frac{3}{{\sqrt 2 }} – \frac{3}{{\sqrt 2 }}i} \right|\) đạt giá trị lớn nhất. Tính tích xy.
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐặt \(z = x + iy\;\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right).\)
\({\left| {z – 2} \right|^2} + {\left| {z + 2} \right|^2} = 26 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = 36\)
Đặt \(x = 3\cos t,\;y = 3\sin t.\) Ta có :
\(P = {\rm{\;}}\left| {z – \frac{3}{{\sqrt 2 }} – \frac{3}{{\sqrt 2 }}i} \right| = \sqrt {18 – 18\sin \left( {t + \frac{\pi }{4}} \right)} \le 6.\)
Dấu bằng xảy ra khi \(\sin \left( {t + \frac{\pi }{4}} \right) = – 1 \Rightarrow t = – \frac{{3\pi }}{4} \Rightarrow z = – \frac{{3\sqrt 2 }}{2} – \frac{{3\sqrt 2 }}{2}i.\)
