Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số \(f\left( x \right) = 5\left( {\sqrt {x – 1} + \sqrt {3 – x} } \right) + \sqrt {\left( {x – 1} \right)\left( {3 – x} \right)} \) lần lượt là m và M, tính \(S = {m^2} + {M^2}\).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTập xác định \(D = \left[ {1;3} \right]\).
Đặt \(t = \sqrt {x – 1} + \sqrt {3 – x} \) ta có \(\sqrt 2 \le t \le 2\) ( dùng máy tính hoặc tìm GTLN, GTNN của t).
\( \Rightarrow \sqrt {\left( {x – 1} \right)\left( {3 – x} \right)} = \frac{{{t^2} – 2}}{2}\) vậy ta có hàm số \(g\left( t \right) = \frac{{{t^2}}}{2} + 5t – 1\) với \(\sqrt 2 \le t \le 2\).
Hàm số \(g’\left( t \right) = t + 5 = 0 \Leftrightarrow t = – 5 \notin \left[ {\sqrt 2 ;2} \right]\).
\(g\left( {\sqrt 2 } \right) = 5\sqrt 2 , g\left( 2 \right) = 11\) nên \(m = 5\sqrt 2 ,M = 11\).
Vậy \(S = {m^2} + {M^2} = 171\).
Câu hỏi liên quan
-
Tìm giá trị lớn nhất (max) và giá trị nhỏ nhất (min) của hàm số \(y = x + \frac{1}{x}\) trên đoạn \(\left[ {\frac{3}{2};\,3} \right]\).
-
Cho hàm số y =f(x) liên tục trên \(\left[0 ; \frac{7}{2}\right]\) có đồ thị hàm số y=f'(x) như hình vẽ sau:
Hàm số y=f(x) đạt giá trị nhỏ nhất trên \(\left[0 ; \frac{7}{2}\right]\) tại điểm x0 nào dưới đây?
-
Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x + e2x trên đoạn [0;2] là
-
Biết hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) có M và m lần lượt là GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn \(\left[ {0;2} \right]\). Trong các hàm số sau, hàm số nào cũng có GTLN và GTNN tương ứng là M và m?.
-
\(\text{Tìm giá trị lớn nhất của hàm số }y = f\left( x \right) = \frac{{2x + 9}}{{ - x + 1}}\text{ trên đoạn } \left[ { - 1;0} \right]\)
-
Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số \(y=\frac{2 x^{2}+3 x+3}{x+1}\) trên đoạn [0;2] lần lượt là:
-
Hàm số \(y=3 \sin x-4 \sin ^{3} x\) có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất lần lượt là:
-
Xét hàm số \(\begin{equation} f(x)=\left|x^{2}+a x+b\right| \end{equation}\) , với a , b là tham số. Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số
trên [-1;3]. Khi M nhận giá trị nhỏ nhất tính \(\begin{equation} T=a+2 b \text { . } \end{equation}\) -
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=\sqrt{5 x^{2}+4}\) trên đoạn [-3;1].
-
Một con cá hồi bơi ngược dòng để vượt khoảng cách là 300 km. Vận tốc dòng nước là 6 km/h. Nếu vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên là v (km/h) thì năng lượng tiêu hao của cá trong t giờ được cho bởi công thức \(E(v)=c v^{3} t\) trong đó c là hằng số và E tính bằng Jun. Vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên để năng lượng tiêu hao là ít nhất bằng
-
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(y=\frac{x^{2}-3}{x-2}\) trên khoảng \((-\infty ; 2)\)
-
Cho hai số thực \(x \neq 0, y \neq 0\) thay đổi và thỏa mãn điều kiện \((x+y) x y=x^{2}+y^{2}-x y\) . Giá trị lớn nhất M của biểu thức \(A=\frac{1}{x^{3}}+\frac{1}{y^{3}}\) là:
-
Giá trị lớn nhất của hàm số \(y=\frac{x-1}{x+2}\) trên đoạn [0;2] là:
-
Hàm số \(y=\left(x^{2}+2 x+3\right)\left(x^{2}+2 x-2\right)\)có giá trị lớn nhất là:
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\). Hàm số \(y = f’\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ bên. Đặt \(M = \mathop {\max }\limits_{\left[ { – 2;6} \right]} f\left( x \right),\;m = \mathop {\min }\limits_{\left[ { – 2;6} \right]} f\left( x \right), T = M + m\) Hỏi mệnh đề nào dưới đây là đúng?
.jpg.png)
-
Gọi m và M lần lượt là các giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số \(f\left( x \right) = {{\rm{e}}^{2 – 3x}}\) trên đoạn \(\left[ {0;2} \right]\). Mối liên hệ giữa M và m là
-
Hàm số \(y=\left(x^{2}+2 x+3\right)\left(x^{2}+2 x-2\right)\) có giá trị lớn nhất là:
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right),x \in \left[ { – 2\,;\,3} \right]\) có đồ thị như hình vẽ. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ { – 2\,;\,3} \right]\). Giá trị M + m là
-
Hàm số \(y=\sqrt{x}+\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\) có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn [0;4] lần lượt là:
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị hàm số \(y = f’\left( x \right)\) như hình vẽ
.jpg.png)
Đặt \(g\left( x \right) = \frac{1}{3}{x^3} – x – f\left( x \right) + 2020\). Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(g\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ { – \sqrt 3 ;\,\sqrt 3 } \right]\). Hãy tính M + m.
