Giá trị của tích phân \(I=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin x}{(\sin x+\cos x)^{3}} d x\) là
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐặt \(x=\frac{\pi}{2}-u \Rightarrow d x=-d u\)
Đổi cận: \(x=0 \Rightarrow \mathrm{u}=\frac{\pi}{2} ; x=\frac{\pi}{2} \Rightarrow \mathrm{u}=0\)
Ta có
\(I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin \left(\frac{\pi}{2}-u\right) d u}{\left[\sin \left(\frac{\pi}{2}-u\right)+\cos \left(\frac{\pi}{2}-u\right)\right]^{3}}=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x d x}{(\sin x+\cos x)^{3}}\)
\(2 \mathrm{I}=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x+\cos x}{(\sin x+\cos x)^{2}} d x=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{d x}{(\sin x+\cos x)^{2}}=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{d x}{2 \cos ^{2}\left(x-\frac{\pi}{4}\right)}=\left.\frac{\tan \left(x-\frac{\pi}{4}\right)}{2}\right|_{0} ^{\frac{\pi}{2}}=1\)
Vậy \(I=\frac{1}{2}\)
