Giả sử \(\int e^{2 x}\left(2 x^{3}+5 x^{2}-2 x+4\right) d x=\left(a x^{3}+b x^{2}+c x+d\right) e^{2 x}+C\) . Khi đó a+b+c+d bằng
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có:
\(\int e^{2 x}\left(2 x^{3}+5 x^{2}-2 x+4\right) d x=\left(a x^{3}+b x^{2}+c x+d\right) e^{2 x}+C\)
nên
\(\begin{aligned} &\left(\left(a x^{3}+b x^{2}+c x+d\right) e^{2 x}+C\right)^{\prime} =\left(2 x^{3}+5 x^{2}-2 x+4\right) e^{2 x}\\ &\Leftrightarrow \left(3 a x^{2}+2 b x+c\right) e^{2 x}+2 e^{2 x}\left(a x^{3}+b x^{2}+c x+d\right) =\left(2 x^{3}+5 x^{2}-2 x+4\right) e^{2 x}\\ &\Leftrightarrow \left(2 a x^{3}+(3 a+2 b) x^{2}+(2 b+2 c) x+c+2 d\right) e^{2 x} =\left(2 x^{3}+5 x^{2}-2 x+4\right) e^{2 x}\\ \end{aligned}\)
Ta có hệ:
\(\left\{\begin{array}{l} 2 a=2 \\ 3 a+2 b=5 \\ 2 b+2 c=-2 \\ c+2 d=4 \end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} a=1 \\ b=1 \\ c=-2 \\ d=3 \end{array} . \text { Vây } a+b+c+d=3\right.\right.\)
