Cho \( F\left( x \right) = \smallint \frac{x}{{1 + \sqrt {1 + x} }}dx\) và \(F( 3 ) - F( 0 ) =\frac{a}{b}\) là phân số tối giản , a > 0. Tổng (a + b ) bằng ?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐặt
\(\begin{array}{l} \sqrt {1 + x} = t \Rightarrow 1 + x = {t^2} \Rightarrow x = {t^2} - 1 \Rightarrow dx = 2tdt\\ \begin{array}{*{20}{l}} { \Rightarrow F\left( x \right) = \smallint \frac{{{t^2} - 1}}{{1 + t}}.2tdt = 2\smallint t\left( {t - 1} \right)dt = 2\smallint \left( {{t^2} - t} \right)dt}\\ { = \frac{2}{3}{t^3} - {t^2} + C = \frac{2}{3}\left( {1 + x} \right)\sqrt {1 + x} - \left( {1 + x} \right) + C}\\ { \Rightarrow F\left( 3 \right) - F\left( 0 \right) = \frac{2}{3}\left( {1 + 3} \right)\sqrt {1 + 3} - \left( {1 + 3} \right) - \frac{2}{3}\left( {1 + 0} \right)\sqrt {1 + 0} + \left( {1 + 0} \right) = \frac{5}{3}}\\ { \Rightarrow a = 5,b = 3 \Rightarrow a + b = 8} \end{array} \end{array}\)
