Cho hàm số y f x = ( ) xác định và liên tục trên \(\mathbb{R} \backslash\{0\}\) thỏa mãn \(x^{2} f^{2}(x)+(2 x-1) f(x)=x f^{\prime}(x)-1\) với \(\forall x \in \mathbb{R} \backslash\{0\}\)và \(f(1)=-2\) . Tính \(\int_{1}^{2} f(x) d x\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{aligned} &\text { Ta có } x^{2} f^{2}(x)+(2 x-1) f(x)=x f^{\prime}(x)-1 \Leftrightarrow(x f(x)+1)^{2}=f(x)+x f^{\prime}(x)\left(^{*}\right)\\ &\text { Đặt } h(x)=f(x)+x f^{\prime}(x) \Rightarrow H^{\prime}(x)=f(x)+x f^{\prime}(x), \text { khi đó }\left(^{*}\right) \text { có dạng }\\ &h^{2}(x)=H(x) \Rightarrow \frac{h^{\prime}(x)}{h^{2}(x)}=1 \Rightarrow \int \frac{h^{\prime}(x)}{h^{2}(x)} d x=\int 1 d x \Rightarrow \int \frac{d h(x)}{h^{2}(x)}=x+C \Leftrightarrow-\frac{1}{h(x)}=x+C\\ &\Rightarrow h(x)=-\frac{1}{x+C} \Rightarrow x f(x)+1=-\frac{1}{x+C}\\ &\text { Vi } f(1)=-2 \text { nên }-2+1=-\frac{1}{1+C} \Rightarrow C=0\\ &\text { Khi đó } x f(x)+1=-\frac{1}{x} \Rightarrow f(x)=-\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{x}\\ &\text { Suy ra: } \int_{1}^{2} f(x) d x=\int_{1}^{2}\left(-\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{x}\right) d x=\left.\left(\frac{1}{x}-\ln x\right)\right|_{1} ^{2}=-\frac{1}{2}-\ln 2 \end{aligned}\)
