Cho hàm số f(x) liên tục trên R và các tích phân \(\mathop \smallint \nolimits_0^{\frac{{\rm{\pi }}}{4}} f\left( {\tan \;x} \right)dx\) và\(\mathop \smallint \nolimits_0^1 \frac{{{x^2}f\left( x \right)}}{{{x^2} + 1}}dx\), tính tích phân \(\mathop \smallint \nolimits_0^1 f\left( x \right)dx\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐặt t = tan x ⇒ dt = (1+ tan x) dx ⇒ \(\frac{{dt}}{{1 + \;{t^2}}}\; = \;dx\)
Đổi cận x = 0 ⇒ t = 0 và x = \(\frac{\pi }{4}\) ⇒ t = 1
Do đó:
\(\begin{array}{l}
\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {f\left( {\tan x} \right)dx = 4 \Rightarrow \int\limits_0^1 {\frac{{f\left( t \right)dt}}{{1 + {r^2}}} = 4 \Rightarrow \int\limits_0^1 {\frac{{f\left( x \right)dx}}{{1 + {x^2}}}} } } = 4\\
\Rightarrow \int\limits_0^1 {\frac{{f\left( x \right)dx}}{{1 + {x^2}}}} + \int\limits_0^1 {\frac{{{x^2}f\left( x \right)dx}}{{1 + {x^2}}}} = 4 + 2 \Rightarrow \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = 6
\end{array}\)
