Với \(-\pi <x<\pi \) thì số nghiệm của phương trình \(\sin \left( 2x+\frac{\pi }{3} \right)=\frac{1}{2}\) là:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\sin \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x + \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\2x + \frac{\pi }{3} = \pi - \frac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = - \frac{\pi }{6} + k2\pi \\2x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{{12}} + k\pi \\x = \frac{\pi }{4} + k\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in Z} \right)\)
Xét nghiệm \(x = - \frac{\pi }{{12}} + k\pi \in \left( { - \pi ;\pi } \right)\mathop \Leftrightarrow \limits^{k \in Z} - \pi < - \frac{\pi }{{12}} + k\pi < \pi \) \(\mathop \Leftrightarrow \limits^{k \in Z} - 1 < - \frac{1}{{12}} + k < 1\mathop \Leftrightarrow \limits^{k \in Z} - \frac{{11}}{{12}} < k < \frac{{13}}{{12}}\mathop \Leftrightarrow \limits^{k \in Z} \left\{ \begin{array}{l}k = 0\\k = 1\end{array} \right..\)
Khi k = 0 ta có nghiệm \(x=-\frac{\pi }{12}\)
Khi k = 1 ta có nghiệm \(x=-\frac{\pi }{12}+\pi =\frac{11\pi }{12}\)
Xét nghiệm \(x = \frac{\pi }{4} + k\pi \in \left( { - \pi ;\pi } \right)\mathop \Leftrightarrow \limits^{k \in Z} {\mkern 1mu} - \pi < \frac{\pi }{4} + k\pi < \pi \) \(\mathop \Leftrightarrow \limits^{k \in Z} {\mkern 1mu} - 1 < \frac{1}{4} + k < 1\mathop \Leftrightarrow \limits^{k \in Z} {\mkern 1mu} - \frac{5}{4} < k < \frac{3}{4}\mathop \Leftrightarrow \limits^{k \in Z} {\mkern 1mu} \left\{ \begin{array}{l}k = - 1\\k = 0\end{array} \right..\)
Khi k = -1 ta có nghiệm \(x=\frac{\pi }{4}-\pi =-\frac{3\pi }{4}\)
Khi k = 0 ta có nghiệm \(x=\frac{\pi }{4}\)
Vậy phương trình có 4 nghiệm thuộc \(\left( -\pi ;\pi \right).\)
Chọn C.
Đề thi HK1 môn Toán 11 năm 2022-2023
Trường THPT Nguyễn Huệ
