Câu hỏi:

Hàm số $y=x^3-3x^2-1$ đạt cực đại tại

x=2

x=0

x=1

x=-2

Trả lời:

Đáp án đúng: B

Để tìm điểm cực đại của hàm số $y = x^3 - 3x^2 - 1$, ta thực hiện các bước sau:

Tính đạo hàm bậc nhất: $y' = 3x^2 - 6x$
Tìm các điểm tới hạn bằng cách giải phương trình $y' = 0$:
$3x^2 - 6x = 0 \Rightarrow 3x(x - 2) = 0 \Rightarrow x = 0$ hoặc $x = 2$
Tính đạo hàm bậc hai: $y'' = 6x - 6$
Xét dấu của đạo hàm bậc hai tại các điểm tới hạn:
- Tại $x = 0$: $y''(0) = 6(0) - 6 = -6 < 0$. Vì $y''(0) < 0$, hàm số đạt cực đại tại $x = 0$.
- Tại $x = 2$: $y''(2) = 6(2) - 6 = 6 > 0$. Vì $y''(2) > 0$, hàm số đạt cực tiểu tại $x = 2$.

Vậy, hàm số đạt cực đại tại $x = 0$.

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

Chủ đề Đạo hàm và khảo sát hàm số - Dạng 3: Nhận biết, tìm điểm cực trị, đếm số điểm cực trị của hàm số

10/09/2025

0 lượt thi

0 / 20

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 11:

Hàm số $y=x^3-5x^2+7x-1$ đạt cực đại tại

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Để tìm điểm cực đại của hàm số $y=x^3-5x^2+7x-1$, ta thực hiện các bước sau:

Tính đạo hàm bậc nhất: $y' = 3x^2 - 10x + 7$

Giải phương trình $y' = 0$: $3x^2 - 10x + 7 = 0$. Phương trình này có hai nghiệm phân biệt $x_1 = 1$ và $x_2 = \frac{7}{3}$

Tính đạo hàm bậc hai: $y'' = 6x - 10$

Xét dấu của đạo hàm bậc hai tại các nghiệm:
- $y''(1) = 6(1) - 10 = -4 < 0$, vậy $x = 1$ là điểm cực đại.
- $y''(\frac{7}{3}) = 6(\frac{7}{3}) - 10 = 4 > 0$, vậy $x = \frac{7}{3}$ là điểm cực tiểu.

Vậy hàm số đạt cực đại tại $x=1$.

Câu 12:

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm $f'(x)=(x-2 \, 024)^{2 \, 024}(x-2 \, 025)^{2 \, 025}, \, \forall x\in \mathbb{R}$ . Số điểm cực đại của hàm số đã cho là

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Ta có $f'(x)=(x-2024)^{2024}(x-2025)^{2025}$.
$f'(x) = 0$ khi $x = 2024$ hoặc $x = 2025$.
Xét dấu của $f'(x)$:

Khi $x < 2024$, $(x-2024)^{2024} > 0$ và $(x-2025)^{2025} < 0$ nên $f'(x) < 0$.

Khi $2024 < x < 2025$, $(x-2024)^{2024} > 0$ và $(x-2025)^{2025} < 0$ nên $f'(x) < 0$.

Khi $x > 2025$, $(x-2024)^{2024} > 0$ và $(x-2025)^{2025} > 0$ nên $f'(x) > 0$.

Vậy $f'(x)$ đổi dấu từ âm sang dương tại $x = 2025$, suy ra $x = 2025$ là điểm cực tiểu.
$f'(x)$ không đổi dấu tại $x = 2024$ nên $x = 2024$ không là điểm cực trị.
Do đó, hàm số không có điểm cực đại nào.

Câu 13:

Khẳng định nào sau đây đúng về hàm số $y=\sqrt{x^2+1}$ ?

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Ta có $y = \sqrt{x^2+1}$.

$y' = \frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}} = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$.

$y' = 0 \Leftrightarrow x = 0$.

$y'' = \frac{\sqrt{x^2+1} - x.\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}}{x^2+1} = \frac{x^2+1-x^2}{(x^2+1)\sqrt{x^2+1}} = \frac{1}{(x^2+1)\sqrt{x^2+1}}$.

$y''(0) = 1 > 0$ nên hàm số đạt cực tiểu tại $x=0$. Vậy đáp án đúng là hàm số đạt cực tiểu tại $x=0$.

Câu 14:

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm $f'(x)=x(x-1)(x-2)^2(x^2-1)$ , $\forall x\in \mathbb{R}$ . Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Ta có $f'(x) = x(x-1)(x-2)^2(x^2-1) = x(x-1)(x-2)^2(x-1)(x+1) = x(x+1)(x-1)^2(x-2)^2$

$f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 0, x = -1, x = 1, x = 2$

Xét dấu của $f'(x)$:

$x = 0$: $f'(x)$ đổi dấu từ âm sang dương

$x = -1$: $f'(x)$ đổi dấu từ dương sang âm

$x = 1$: $f'(x)$ không đổi dấu

$x = 2$: $f'(x)$ không đổi dấu

Vậy hàm số có 2 điểm cực trị là $x = 0$ và $x = -1$.

Câu 15:

Hàm số nào sau đây có ba điểm cực trị?

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Hàm số có ba điểm cực trị phải là hàm số bậc 4 trùng phương $y = ax^4 + bx^2 + c$ với $a, b$ trái dấu.
Xét đáp án A: $y' = x^2 - 6x + 7$. Phương trình $y' = 0$ có 2 nghiệm phân biệt nên hàm số có 2 điểm cực trị, loại.
Xét đáp án B: $y = -x^4 + 2x^2$ có $a = -1 < 0$ và $b = 2 > 0$, suy ra $ab < 0$. Vậy hàm số có 3 điểm cực trị.
Xét đáp án C: $y = -x^4 - 2x^2 + 1$ có $a = -1 < 0$ và $b = -2 < 0$, suy ra $ab > 0$. Vậy hàm số có 1 điểm cực trị, loại.
Xét đáp án D: $y = \dfrac{2x-1}{x+1}$. Đây là hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất, không có cực trị, loại.

Câu 16:

Cho hàm số $y=-x^4+2x^2+3$ . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Lời giải: