Câu hỏi:

Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số $y=\dfrac13x^3-2x^2+3x+1$ là

\Big(1;\dfrac{7}{3}\Big)

x=1

(3;1)

x=3

Trả lời:

Đáp án đúng: A

Để tìm điểm cực tiểu của đồ thị hàm số $y=\frac{1}{3}x^3-2x^2+3x+1$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tính đạo hàm bậc nhất: $y' = x^2 - 4x + 3$ 2. Giải phương trình $y' = 0$: $x^2 - 4x + 3 = 0 \Rightarrow (x-1)(x-3) = 0 \Rightarrow x = 1$ hoặc $x = 3$ 3. Tính đạo hàm bậc hai: $y'' = 2x - 4$ 4. Xét dấu đạo hàm bậc hai tại các nghiệm của đạo hàm bậc nhất: * $y''(1) = 2(1) - 4 = -2 < 0$, vậy $x = 1$ là điểm cực đại. * $y''(3) = 2(3) - 4 = 2 > 0$, vậy $x = 3$ là điểm cực tiểu. Vậy, điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là $x = 3$.

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

Chủ đề Đạo hàm và khảo sát hàm số - Dạng 3: Nhận biết, tìm điểm cực trị, đếm số điểm cực trị của hàm số

10/09/2025

0 lượt thi

0 / 20

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 8:

Hàm số $y=\dfrac{x+1}{2x-1}$ có bao nhiêu điểm cực trị?

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Ta có:
$y' = \dfrac{(x+1)'(2x-1) - (x+1)(2x-1)'}{(2x-1)^2} = \dfrac{1(2x-1) - (x+1)2}{(2x-1)^2} = \dfrac{2x-1 - 2x - 2}{(2x-1)^2} = \dfrac{-3}{(2x-1)^2}$
Vì $y' = \dfrac{-3}{(2x-1)^2} < 0$ với mọi $x \neq \dfrac{1}{2}$ nên hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-\infty; \dfrac{1}{2})$ và $(\dfrac{1}{2}; +\infty)$.
Do đó, hàm số không có điểm cực trị.

Câu 9:

Cho hàm số $y=x^4-\dfrac23x^3-x^2.$ Mệnh đề nào sau đây đúng?

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Ta có $y' = 4x^3 - 2x^2 - 2x = 2x(2x^2 - x - 1) = 2x(x-1)(2x+1)$.

$y'=0$ khi $x=0, x=1, x=-\dfrac{1}{2}$.

$y'' = 12x^2 - 4x - 2$.

$y''(0) = -2 < 0$ nên $x=0$ là điểm cực đại.

$y''(1) = 12 - 4 - 2 = 6 > 0$ nên $x=1$ là điểm cực tiểu.

$y''(-\dfrac{1}{2}) = 12(\dfrac{1}{4}) - 4(-\dfrac{1}{2}) - 2 = 3 + 2 - 2 = 3 > 0$ nên $x=-\dfrac{1}{2}$ là điểm cực tiểu.

Vậy hàm số có một điểm cực đại và hai điểm cực tiểu. Do đó, hàm số có một giá trị cực tiểu.

Câu 10:

Hàm số $y=x^3-3x^2-1$ đạt cực đại tại

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Để tìm điểm cực đại của hàm số $y = x^3 - 3x^2 - 1$, ta thực hiện các bước sau:

Tính đạo hàm bậc nhất: $y' = 3x^2 - 6x$

Tìm các điểm tới hạn bằng cách giải phương trình $y' = 0$:
$3x^2 - 6x = 0 \Rightarrow 3x(x - 2) = 0 \Rightarrow x = 0$ hoặc $x = 2$

Tính đạo hàm bậc hai: $y'' = 6x - 6$

Xét dấu của đạo hàm bậc hai tại các điểm tới hạn:
- Tại $x = 0$: $y''(0) = 6(0) - 6 = -6 < 0$. Vì $y''(0) < 0$, hàm số đạt cực đại tại $x = 0$.
- Tại $x = 2$: $y''(2) = 6(2) - 6 = 6 > 0$. Vì $y''(2) > 0$, hàm số đạt cực tiểu tại $x = 2$.

Vậy, hàm số đạt cực đại tại $x = 0$.

Câu 11:

Hàm số $y=x^3-5x^2+7x-1$ đạt cực đại tại

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Để tìm điểm cực đại của hàm số $y=x^3-5x^2+7x-1$, ta thực hiện các bước sau:

Tính đạo hàm bậc nhất: $y' = 3x^2 - 10x + 7$

Giải phương trình $y' = 0$: $3x^2 - 10x + 7 = 0$. Phương trình này có hai nghiệm phân biệt $x_1 = 1$ và $x_2 = \frac{7}{3}$

Tính đạo hàm bậc hai: $y'' = 6x - 10$

Xét dấu của đạo hàm bậc hai tại các nghiệm:
- $y''(1) = 6(1) - 10 = -4 < 0$, vậy $x = 1$ là điểm cực đại.
- $y''(\frac{7}{3}) = 6(\frac{7}{3}) - 10 = 4 > 0$, vậy $x = \frac{7}{3}$ là điểm cực tiểu.

Vậy hàm số đạt cực đại tại $x=1$.

Câu 12:

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm $f'(x)=(x-2 \, 024)^{2 \, 024}(x-2 \, 025)^{2 \, 025}, \, \forall x\in \mathbb{R}$ . Số điểm cực đại của hàm số đã cho là

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Ta có $f'(x)=(x-2024)^{2024}(x-2025)^{2025}$.
$f'(x) = 0$ khi $x = 2024$ hoặc $x = 2025$.
Xét dấu của $f'(x)$:

Khi $x < 2024$, $(x-2024)^{2024} > 0$ và $(x-2025)^{2025} < 0$ nên $f'(x) < 0$.

Khi $2024 < x < 2025$, $(x-2024)^{2024} > 0$ và $(x-2025)^{2025} < 0$ nên $f'(x) < 0$.

Khi $x > 2025$, $(x-2024)^{2024} > 0$ và $(x-2025)^{2025} > 0$ nên $f'(x) > 0$.

Vậy $f'(x)$ đổi dấu từ âm sang dương tại $x = 2025$, suy ra $x = 2025$ là điểm cực tiểu.
$f'(x)$ không đổi dấu tại $x = 2024$ nên $x = 2024$ không là điểm cực trị.
Do đó, hàm số không có điểm cực đại nào.

Câu 13:

Khẳng định nào sau đây đúng về hàm số $y=\sqrt{x^2+1}$ ?

Lời giải: