Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình thang cân với \(AB//CD\), \(AB = 2a,AD = CD = a\). Hình chiếu vuông góc của \(S\) xuống mặt đáy là trung điểm của \(AC\). Biết góc giữa \(SC\) và \(\left( {ABCD} \right)\) là \(45^\circ \), tính thể tích của khối chóp \(S.ABCD\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Gọi \(H\) là trung điểm \(AC\). Theo giả thiết thì \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\)
Do \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\) nên góc tạo bởi \(SC\) và mặt đáy \(\left( {ABCD} \right)\) và góc giữa \(SC\) và \(CH\). Do đó \(\widehat {SCH} = 45^\circ \)
Qua \(C\) kẻ \(CK \bot AB\left( {K \in AB} \right)\).
\(ABCD\) là hình thang cân nên \(KB = \dfrac{{AB - CD}}{2} = \dfrac{a}{2}\)
Tam giác \(KBC\) vuông tại \(K\) nên \(KC = \sqrt {B{C^2} - K{B^2}} = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\dfrac{1}{2}a} \right)}^2}} = \dfrac{{\sqrt 3 a}}{2}\)
Tam giác \(AKC\) vuông tại \(K\) nên \(AC = \sqrt {A{K^2} + K{C^2}} = \sqrt {{{\left( {\dfrac{{3a}}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{{\sqrt 3 a}}{2}} \right)}^2}} = \sqrt 3 a\)
Suy ra \(HC = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{{\sqrt 3 a}}{2}\)
Tam giác \(SHC\) vuông tại \(H\) có \(\widehat {SCH} = 45^\circ \) nên tam giác \(SHC\) vuông cân tại \(H\). Do đó \(SH = HC = \dfrac{{\sqrt 3 a}}{2}\)
Diện tích hình thang \(ABCD\) là \({S_{ABCD}} = \dfrac{1}{2}CK.\left( {AB + CD} \right) = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}a.3a = \dfrac{{3\sqrt 3 {a^2}}}{4}\)
Thể tích của khối chóp \(S.ABCD\) là \({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SH.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{\sqrt 3 a}}{2}.\dfrac{{3\sqrt 3 {a^3}}}{4} = \dfrac{3}{8}{a^3}\)
Chọn D
Đề thi HK1 môn Toán 12 năm 2021-2022
Trường THPT Mai Thúc Loan
Câu hỏi liên quan
-
Một doanh nghiệp sản xuất và bán một loại sản phẩm với giá 45 (ngàn đồng) mỗi sản phẩm, tại giá bán này khách hàng sẽ mua 60 sản phẩm mỗi tháng. Doanh nghiệp dự định tăng giá bạn và họ ước tính rằng nếu tăng 2 (ngàn đồng) trong giá bán thì mỗi tháng sẽ bán ít hơn 6 sản phẩm. Biết rằng chi phí sản xuất mỗi sản phẩm là 27 (ngàn đồng). Hỏi doanh nghiệp nên bán sản phẩm với giá nào để lợi nhuận thu được lớn nhất?
-
Cho khối chóp đều \(S.ABCD\) có cạnh đáy là \(2a\), cạnh bên \(3a\). Tính thể tích của khối chóp \(S.ABCD\).
-
Biết \({\log _2}x = 6{\log _4}a - 4{\log _2}\sqrt b - {\log _{\dfrac{1}{2}}}c\), với \(a,b,c\) là các số thực dương bất kì. Khẳng định nào sau đây đúng?
-
Tổng độ dài \(l\) tất cả các cạnh của khối mười hai mặt đều có cạnh bằng 2 là:
-
Một chất điểm chuyển động theo quy luật \(S = 6{t^2} - {t^3}\). Vận tốc \(v\left( {m/s} \right)\) của chất điểm đạt giấ trị lớn nhất tại thới điểm \(t\left( s \right)\) bằng
-
Với \(a,b\) là hai số thực dương và \(a \ne 1\), \({\log _{\sqrt a }}\left( {a\sqrt b } \right)\) bằng
-
Tập xác định \(D\) của hàm số \(y = {\left( {x - 2} \right)^{\sqrt 2 }}\) là
-
Gọi \(S\) là tập hợp các giá trị của tham số \(m\) để phương trình \({9^x} - 2m{.3^x} + {m^2} - 8m = 0\) có 2 nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \({x_1} + {x_2} = 2\). Tính tổng các phần tử của \(S\).
-
Cho khối nón có độ dài đường sinh bằng \(a\sqrt 5 \) và chiều cao bằng \(a\). Thể tích của khối nón đã cho bằng
-
Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{x - 1}}{{x + 1}}\) là đường thẳng có phương trình
-
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm là \(f'\left( x \right) = {x^2}{\left( {x + 1} \right)^3}\left( {2 - 3x} \right)\). Số điểm cực trị của hàm số \(f\left( x \right)\) là
-
Thể tích của khối cầu có bán kính \(6cm\) là
-
Cho hình đa diện đều loại \(\left\{ {4;3} \right\}\) cạnh là \(2a\). Gọi \(S\) là tổng diện tích tất cả các mặt của hình đa diện đó. Khi đó:
-
Tính thể tích của khối lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\), biết \(AC' = a\sqrt 6 \)
-
Cho tứ diện \(ABCD\) có \(\Delta ABC\) là tam giác đều cạnh bằng \(a\). \(\Delta BCD\) vuông cân tại \(D\) và nằm trong mặt phẳng vuông góc với \(\left( {ABC} \right)\). Tính theo \(a\) thể tích của tứ diện \(ABCD\).
-
Một hình đa diện có các mặt là các tam giác. Gọi \(M\) và \(C\) lần lượt là số mặt và số cạnh của hình đã diện đó. Khẳng định nào sau đây đúng?
-
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:
.png)
Khẳng định nào dưới đây là đúng?
-
Cho hàm số \(y = {\log _2}{x^2}\). Khẳng định nào sau đây là sai?
-
Cho hình nón có chiều cao bằng 4 và bán kính đáy bằng 3. Cắt hình nón đã cho bởi mặt phẳng đi qua đỉnh và cách tâm của đáy một khoảng bằng 2, ta được thiết diện có diện tích bằng
-
Điểm cực đại của đồ thị hàm số \(y = {x^3} + 3{x^2} + 2\) là
