Cho hàm số \(y = \dfrac{{{x^2} + \left( {3m - 2} \right)x + 1 - 2m}}{{x + 2}}\). Tìm các giá trị của \(m\) để \(y' \ge 0\) với mọi \(x\) thuộc tập xác định.
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2} \right\}\). Ta có:
\(\begin{array}{l}y' = \dfrac{{\left( {2x + 3m - 2} \right)\left( {x + 2} \right) - \left( {{x^2} + \left( {3m - 2} \right)x + 1 - 2m} \right)}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\\y' = \dfrac{{2{x^2} + \left( {3m - 2} \right)x + 4x + 2\left( {3m - 2} \right) - {x^2} - \left( {3m - 2} \right)x - 1 + 2m}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\\y' = \dfrac{{{x^2} + 4x + 8m - 5}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\end{array}\)
\(y' \ge 0\,\,\forall x \in D \Leftrightarrow {x^2} + 4x + 8m - 5 \ge 0\,\,\forall x \ne - 2\).
Ta có \(\Delta ' = 4 - 8m + 5 = 9 - 8m\).
TH1: \(\Delta ' < 0 \Rightarrow 9 - 8m < 0 \Leftrightarrow m > \dfrac{9}{8}\).
Khi đó \({x^2} + 4x + 8m - 5 \ge 0\,\,\forall x \ne \mathbb{R}\,\,\left( {tm} \right).\)
TH2: \(\Delta ' = 0 \Rightarrow 9 - 8m = 0 \Leftrightarrow m = \dfrac{9}{8}\).
Khi đó \({x^2} + 4x + 8m - 5 \ge 0\,\,\forall x \ne \dfrac{{ - 4}}{2} = - 2\,\,\left( {tm} \right).\)
Vậy \(m \ge \dfrac{9}{8}\).
Chọn A.
Đề thi HK2 môn Toán 11 năm 2021-2022
Trường THPT Bùi Thị Xuân
