Cho \(\cot \frac{\pi }{14}=a\). Giá trị biểu thức \(K=\sin \frac{2\pi }{7}+\sin \frac{4\pi }{7}+\sin \frac{6\pi }{7}\) bằng?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có:
\(\tan \frac{\pi }{14}=\frac{1}{a}\Rightarrow \sin \frac{\pi }{7}\)\(=\frac{\frac{2}{a}}{1+\frac{1}{{{a}^{2}}}}\)\(=\frac{2a}{{{a}^{2}}+1}\)\(=\sin \frac{6\pi }{7};\cos \frac{\pi }{7}\)\(=\frac{1-\frac{1}{{{a}^{2}}}}{1+\frac{1}{{{a}^{2}}}}\)\(=\frac{{{a}^{2}}-1}{{{a}^{2}}+1}\)
\(\Rightarrow \sin \frac{2\pi }{7}\)\(=2\sin \frac{\pi }{7}\cos \frac{\pi }{7}\)\(=\frac{4a\left( {{a}^{2}}-1 \right)}{{{\left( {{a}^{2}}+1 \right)}^{2}}}\)
\(\sin \frac{4\pi }{7}\)\(=\sin \frac{3\pi }{7}\)\(=3\sin \frac{\pi }{7}-4{{\sin }^{3}}\frac{\pi }{7}\)
\(\Rightarrow \sin \frac{4\pi }{7}+\sin \frac{6\pi }{7}\)\(=4\sin \frac{\pi }{7}-4{{\sin }^{3}}\frac{\pi }{7}=4\sin \frac{\pi }{7}\left( 1-{{\sin }^{2}}\frac{\pi }{7} \right)\)
\(=4\sin \frac{\pi }{7}.{{\cos }^{2}}\frac{\pi }{7}\)\(=2\sin \frac{2\pi }{7}\cos \frac{\pi }{7}\)
Khi đó:
\(K=\sin \frac{2\pi }{7}\left( 2\cos \frac{\pi }{7}+1 \right)\)\(=\frac{4a\left( {{a}^{2}}-1 \right)}{{{\left( {{a}^{2}}+1 \right)}^{2}}}.\frac{2{{a}^{2}}-2+{{a}^{2}}+1}{{{a}^{2}}+1}\)\(=\frac{4a\left( {{a}^{2}}-1 \right)\left( 3{{a}^{2}}-1 \right)}{{{\left( {{a}^{2}}+1 \right)}^{3}}}\)
Đáp án C.
Đề thi giữa HK1 môn Toán 11 CTST năm 2023-2024
Trường THPT Trưng Vương
Câu hỏi liên quan
-
Đổi số đo cung \(\frac{5}{6}\text{rad}\) sang độ, phút, giây ta được?
-
Hàm số y = cosx nghịch biến trên mỗi khoảng?
-
Công thức nhân đôi nào sau đây là đúng?
-
Cho hai đường thẳng chéo nhau \(a\) và \(b\). Lấy các điểm phân biệt \(A,\,B\in a;\,C,D\in b\). Khẳng định nào sau đây đúng?
-
Hàm số nào dưới đây có đồ thị không là đường hình sin?
-
Nghiệm \(x = \dfrac{{2\pi }}{3}\) là của phương trình nào dưới đây?
-
Hệ thức liên hệ giữa hai cung bù nhau (\(\alpha \) và \(\pi -\alpha \)) nào dưới đây sai?
-
Cho ĐT \(\left( O;R \right)\) ngoại tiếp lục giác đều ABCDEF. Khi đó số đo cung của đường tròn có độ dài bằng chu vi lục giác theo độ và rad lần lượt là?
-
Cho hình chóp \(S.ABCD,\) đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( SAD \right)\) và \(\left( SBC \right)\) là đường thẳng song song với đường thẳng nào sau đây?
-
Giá trị của biểu thức \(P=\sin x+x\) với \(x=390{}^\circ \) là?
-
Tìm nghiệm của phương trình \(\cot \left( {x - \dfrac{\pi }{3}} \right) = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\)?
-
Cho các mệnh đề sau:
(1) Hai đường thẳng phân biệt không song song thì chéo nhau.
(2) Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng song song với hai đường thẳng đã cho.
(3) Nếu đường thẳng \(a\) song song với mặt phẳng \(\left( P \right)\) thì mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng\(\left( P \right)\) đều song song với \(a\).
Số mệnh đề đúng là?
-
Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề dưới đây?
-
Cho \(\sin \alpha =\frac{-4}{5}\) và \(\pi <\alpha <\frac{3\pi }{2}\). Giá trị của \(\cos \alpha \) là?
-
Đồ thị hàm số y = tanx đi qua điểm nào dưới đây?
-
Giá trị của biểu thức \(P=\sin x\) với \(x=420{}^\circ \) có kết quả là?
-
Cho hình chóp tứ giác \(S.ABCD\), \(AC\) và \(BD\) cắt nhau tại \(O\). Giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( SAC \right)\) và \(\left( SBD \right)\) là đường thẳng?
-
Cho hình chóp \(S.ABCD\) với đáy là tứ giác \(ABCD\) có các cạnh đối không song song. Giả sử \(AC\cap BD=O\), \(AD\cap BC=I\). Giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( SAC \right)\) và \(\left( SBD \right)\) là?
-
Phát biểu nào dưới đây đúng?
-
Cho 4 cung (trên một đường tròn định hướng): \(\alpha =\frac{\pi }{3};\beta =\frac{10\pi }{3}\); \(\gamma =\frac{-5\pi }{3};\delta =\frac{-7\pi }{3}\). Các cung có điểm cuối cùng trùng nhau là?
