Cho \(\cot \frac{\pi }{14}=a\). Giá trị biểu thức \(K=\sin \frac{2\pi }{7}+\sin \frac{4\pi }{7}+\sin \frac{6\pi }{7}\) bằng?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có:
\(\tan \frac{\pi }{14}=\frac{1}{a}\Rightarrow \sin \frac{\pi }{7}\)\(=\frac{\frac{2}{a}}{1+\frac{1}{{{a}^{2}}}}\)\(=\frac{2a}{{{a}^{2}}+1}\)\(=\sin \frac{6\pi }{7};\cos \frac{\pi }{7}\)\(=\frac{1-\frac{1}{{{a}^{2}}}}{1+\frac{1}{{{a}^{2}}}}\)\(=\frac{{{a}^{2}}-1}{{{a}^{2}}+1}\)
\(\Rightarrow \sin \frac{2\pi }{7}\)\(=2\sin \frac{\pi }{7}\cos \frac{\pi }{7}\)\(=\frac{4a\left( {{a}^{2}}-1 \right)}{{{\left( {{a}^{2}}+1 \right)}^{2}}}\)
\(\sin \frac{4\pi }{7}\)\(=\sin \frac{3\pi }{7}\)\(=3\sin \frac{\pi }{7}-4{{\sin }^{3}}\frac{\pi }{7}\)
\(\Rightarrow \sin \frac{4\pi }{7}+\sin \frac{6\pi }{7}\)\(=4\sin \frac{\pi }{7}-4{{\sin }^{3}}\frac{\pi }{7}=4\sin \frac{\pi }{7}\left( 1-{{\sin }^{2}}\frac{\pi }{7} \right)\)
\(=4\sin \frac{\pi }{7}.{{\cos }^{2}}\frac{\pi }{7}\)\(=2\sin \frac{2\pi }{7}\cos \frac{\pi }{7}\)
Khi đó:
\(K=\sin \frac{2\pi }{7}\left( 2\cos \frac{\pi }{7}+1 \right)\)\(=\frac{4a\left( {{a}^{2}}-1 \right)}{{{\left( {{a}^{2}}+1 \right)}^{2}}}.\frac{2{{a}^{2}}-2+{{a}^{2}}+1}{{{a}^{2}}+1}\)\(=\frac{4a\left( {{a}^{2}}-1 \right)\left( 3{{a}^{2}}-1 \right)}{{{\left( {{a}^{2}}+1 \right)}^{3}}}\)
Đáp án C.
Đề thi giữa HK1 môn Toán 11 CTST năm 2023-2024
Trường THPT Trưng Vương
Câu hỏi liên quan
-
Cho hình chóp \(S.ABCD\) với đáy là tứ giác \(ABCD\) có các cạnh đối không song song. Giả sử \(AC\cap BD=O\), \(AD\cap BC=I\). Giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( SAC \right)\) và \(\left( SBD \right)\) là?
-
Trong không gian cho tứ diện \(ABCD\). Gọi \(M\,,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\,,\,\,CD\), \(G\) là trọng tâm tam giác \(BCD\). Đường thẳng \(AG\) cắt đường thẳng nào?
-
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thang, \(AB\text{//}CD\). Gọi \(M\),\)N\), \(Q\) lần lượt là trung điểm của \(BC\), \(AD\) và \(SB\). Giao tuyến của hai mp \(\left( SAB \right)\) và \(\left( MNQ \right)\)?
-
Tìm nghiệm của phương trình \(\cot \left( {x - \dfrac{\pi }{3}} \right) = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\)?
-
Cho \(\sin \alpha =\frac{-4}{5}\) và \(\pi <\alpha <\frac{3\pi }{2}\). Giá trị của \(\cos \alpha \) là?
-
Cho hình chóp \(S.ABCD,\) đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( SAD \right)\) và \(\left( SBC \right)\) là đường thẳng song song với đường thẳng nào sau đây?
-
Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\), \(G,{G}'\) lần lượt là trọng tâm của \(\Delta ABC,\Delta BCD\). Tìm mệnh đề sai?
-
Hàm số nào dưới đây có đồ thị không là đường hình sin?
-
Công thức biến đổi tích thành tổng nào dưới đây đúng?
-
Đổi số đo cung \(\frac{5}{6}\text{rad}\) sang độ, phút, giây ta được?
-
Cho ĐT \(\left( O;R \right)\) ngoại tiếp lục giác đều ABCDEF. Khi đó số đo cung của đường tròn có độ dài bằng chu vi lục giác theo độ và rad lần lượt là?
-
Nghiệm \(x = \dfrac{{2\pi }}{3}\) là của phương trình nào dưới đây?
-
Hàm số y = cosx nghịch biến trên mỗi khoảng?
-
Giải phương trình lượng giác sau: \(\cot x = \cot 2x\)?
-
Cho hai đường thẳng phân biệt \(a\) và \(b\) trong không gian. Có bao nhiêu vị trí tương đối giữa \(a\) và \(b\)?
-
Trên đường tròn lượng giác, cho cung \(\overset\frown{AM}\) có sđ \(\overset\frown{AM}=\alpha \), sin của góc α là?
-
Hệ thức liên hệ giữa hai cung bù nhau (\(\alpha \) và \(\pi -\alpha \)) nào dưới đây sai?
-
Đường cong trong hình có thể là đồ thị của hàm số nào dưới đây?
-
Cho hai đường thẳng chéo nhau \(a\) và \(b\). Lấy hai điểm \(A,B\) phân biệt thuộc \(a\) và hai điểm \(C,D\) phân biệt thuộc \(b\). Khi đó hai đường thẳng \(A\text{D}\) và \(BC\) ở vị trí nào?
-
Giá trị của biểu thức \(P=\sin x+x\) với \(x=390{}^\circ \) là?
