Trong mặt phẳng Oxy , viết phương trình chính tắc của elip (E) biết (E) đi qua \(M\left(\frac{3}{\sqrt{5}} ; \frac{4}{\sqrt{5}}\right)\)và M nhìn hai tiêu điểm \(F_{1}, F_{2}\) dưới một góc vuông.
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{aligned} &\text { Gọi }(E): \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\\ &\text { Ta có: }(E) \text { đi qua } M\left(\frac{3}{\sqrt{5}} ; \frac{4}{\sqrt{5}}\right) \text { nên: } \frac{9}{5 a^{2}}+\frac{16}{5 b^{2}}=1 \Leftrightarrow 16 a^{2}+9 b^{2}=5 a^{2} b^{2} \text { . }\\ &\text { Vì } M \text { nhìn hai tiêu điểm } F_{1}, F_{2} \text { dưới một góc vuông nên: } O M=\frac{F_{1} F_{2}}{2}=c \text { . }\\ &\Leftrightarrow O M^{2}=c^{2} \Leftrightarrow \frac{9}{5}+\frac{16}{5}=c^{2} \Leftrightarrow a^{2}-b^{2}=c^{2}=5 \Leftrightarrow a^{2}=5+b^{2} \text { thế vào (1) ta được: } \end{aligned}\)
\(\begin{array}{l} 16\left(5+b^{2}\right)+9 b^{2}=5\left(5+b^{2}\right) b^{2} \Leftrightarrow b^{4}=16 \Rightarrow b^{2}=4 \text { nên } a^{2}=9 \\ \text { Vậy: }(E): \frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1 \end{array}\)
Câu hỏi liên quan
-
Cho elip (E): \(\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\). Tìm toạ độ điểm M ∈ (E) sao cho độ dài F2M lớn nhất, biết F2 là một tiêu điểm có hoành độ dương của (E).
-
Viết phương trình chính tắc của hypebol, biết độ dài trục ảo bằng 6 và tâm sai bằng \(\frac{5}{4}\)?
-
Cho hypebol có phương trình chính tắc \(\frac{{{x^2}}}{{144}} - \frac{{{y^2}}}{{25}} = 1.\). Giả sử M là điểm thuộc hypebol có hoành độ là 15. Tìm độ dài các bán kính qua tiêu của điểm M.
-
Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng \(\Delta: x-2 y+3=0\) và đường tròn \((C): x^{2}+y^{2}-2 x-4 y=0\)
-
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ta xét parabol (P) có phương trình chính tắc y2 = 2px (p > 0) (Hình 19).
.png)
Toạ độ tiêu điểm F của parabol (P) bằng:
-
Lấy một tấm bìa, ghim hai cái đỉnh lên đó tại hai điểm F1 và F2. Lấy một vòng dây kín không đàn hồi có độ dài lớn hơn hai lần đoạn F1F2. Quàng vòng dây đó qua hai chiếc đinh và kéo căng tại một điểm M nào đó. Tựa đầu bút chì vào trong vòng dây tại điểm M rồi di chuyển sao cho dây luôn luôn căng. Đầu bút chì vạch lên tấm bìa một đường mà ta gọi là đường elip. Cho biết 2c là khoảng cách F1F2 và 2a + 2c là độ dài của vòng dây. Tính tổng hai khoảng cách F1M và F2M.
.png)
-
Elip \((E): \frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{8}=1\) . Tỉ số k của tiêu cự và độ dài trục bé của elip bằng
-
Cho elip chính tắc (E) có tiêu điểm F1(4;0) ) và một đỉnh là A(5;0). Phương trình chính tắc của elip (E) là:
-
Phương trình chính tắc của elip thỏa mãn độ dài trục lớn 16, độ dài trục nhỏ 12
-
Elip \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\). Tỉ số e của tiêu cự và độ dài trục lớn của elip bằng:
-
Cho elip \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
-
Phương trình chính tắc của elip thỏa mãn đỉnh (5; 0), tiêu điểm (3; 0)
-
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho elip \((E): \frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1\) . Tiêu cự của (E) bằng
-
Phương trình chính tắc của hypebol có một đỉnh là A2(5; 0) và một đường tiệm cận là y = –3x là:
-
Trong mặt phẳng, xét đường hypebol (H) là tập hợp các điểm M sao cho |MF1 – MF2| = 2a, ở đó F1F2 = 2c với c > a > 0. Ta chọn hệ trục toạ độ Oxy có gốc là trung điểm của đoạn thẳng F1F2. Trục Oy là đường trung trực của F1F2 và F2 nằm trên tia Ox (Hình 16). Khi đó F1(c; 0), F2(c; 0) là các tiêu điểm của (H).
Với mỗi điểm M(x; y) thuộc đường hypebol (H). Tính MF22 theo x, y ta được:
-
Để vẽ hypebol (H) bạn An đã thực hiện các bước như sau:
Vẽ hypebol (H) với a = 3, b = 4. (H) có các đỉnh là A1(– 3; 0), A2(3; 0).
Bước 1. Vẽ hình chữ nhật cơ sở có bốn cạnh thuộc bốn đường thẳng x = –3, x = 3, y = – 4, y = 4.
Bước 2. Vẽ hai đường chéo của hình chữ nhật cơ sở.
Tim một số điểm cụ thể thuộc hypebol, chẳng hạn ta thấy điểm\(M\left( {5;\frac{{16}}{3}} \right)\) thuộc (H). Do đó các điểm\({M_1}\left( {5; - \frac{{16}}{3}} \right),{M_2}\left( { - 5;\frac{{16}}{3}} \right),{M_3}\left( { - 5; - \frac{{16}}{3}} \right)\) thuộc (H).
Bước 3. Vẽ đường hypebol bên ngoài hình chữ nhật cơ sở; nhánh bên trái tiếp xúc với cạnh của hình chữ nhật cơ sở tại điểm A1(– 3; 0) và đi qua M2, M3; nhánh bên phải tiếp xúc với cạnh của hình chữ nhật cơ sở tại điểm A2(3; 0) và đi qua M, M1. Vẽ các điểm thuộc hypebol càng xa gốc toạ độ thi càng sát với đường tiệm cận. Hypebol nhận gốc toạ độ là tâm đối xứng và hai trục toạ độ là hai trục đối xứng.
Bằng cách này, em hãy cho biết bạn An đã vẽ được hypebol (H) có phương trình như thế nào?
-
Phương trình chính tắc của hypebol thỏa mãn đỉnh (3; 0), tiêu điểm (5; 0)
-
Elip \(\left( E \right):\dfrac{{{x^2}}}{{100}} + \dfrac{{{y^2}}}{{64}} = 1\) có độ dài trục bé bằng bao nhiêu?
-
Cho hypebol (H) (Hình 15). Phương trình hai đường thẳng PR và QS lần lượt là:
.png)
-
Trong mặt phẳng, xét đường hypebol (H) là tập hợp các điểm M sao cho |MF1 – MF2| = 2a, ở đó F1F2 = 2c với c > a > 0. Ta chọn hệ trục toạ độ Oxy có gốc là trung điểm của đoạn thẳng F1F2. Trục Oy là đường trung trực của F1F2 và F2 nằm trên tia Ox (Hình 16). Khi đó F1(c; 0), F2(c; 0) là các tiêu điểm của (H).
Với mỗi điểm M(x; y) thuộc đường hypebol (H). Tính MF12 theo x, y ta được:
