Rút gọn biểu thức: \(A=(x+y+z+t)^{2}+(x+y-z-t)^{2}+(x+z-y-t)^{2}+(x+t-y-z)^{2} .\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiKhai triển ta có
\(\begin{aligned} &(\mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{z}+\mathrm{t})^{2}=\mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}+\mathrm{z}^{2}+\mathrm{t}^{2}+2 \mathrm{xy}+2 \mathrm{xz}+2 \mathrm{xt}+2 \mathrm{yz}+2 \mathrm{yt}+2 \mathrm{zt} \\ &(\mathrm{x}+\mathrm{y}-\mathrm{z}-\mathrm{t})^{2}=\mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}+\mathrm{z}^{2}+\mathrm{t}^{2}+2 \mathrm{xy}-2 \mathrm{xz}-2 \mathrm{xt}-2 \mathrm{yz}-2 \mathrm{y} \mathrm{t}+2 \mathrm{z} \mathrm{t} \\ &(\mathrm{x}+z-y-t)^{2}=x^{2}+z^{2}+y^{2}+t^{2}-2 x y+2 \mathrm{x} z-2 x t-2 y z+2 y t-2 z t \\ &(\mathrm{x}+\mathrm{t}-\mathrm{y}-\mathrm{z})^{2}=\mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}+\mathrm{z}^{2}+\mathrm{t}^{2}-2 \mathrm{xy}-2 \mathrm{xz}+2 \mathrm{xt}+2 \mathrm{yz}-2 \mathrm{yt}-2 \mathrm{z} t \end{aligned}\)
Cộng vế theo vế ta được
\(\begin{aligned} &(x+y+z+t)^{2}+(x+y-z-t)^{2}+(x+z-y-t)^{2}+(x+t-y-z)^{2} \\ &=4\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}+t^{2}\right) \end{aligned}\)
