Cho tứ diện ABCD, gọi \(G_1;G_2;G_3\) lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC, ACD, ADB. Diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng\((G_1;G_2;G_3)\)bằng k lần diện tích tam giác BCD, khi đó k bằng
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai
Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của BC,CD,BD. Ta có:
\(\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{{A{G_1}}}{{AM}} = \frac{{A{G_2}}}{{AN}} = \frac{{A{G_3}}}{{AP}} = \frac{2}{3}}\\ { \Rightarrow {G_1}{G_2}//MN,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {G_2}{G_3}//NP \Rightarrow \left( {{G_1}{G_2}{G_2}} \right)//\left( {MNP} \right)} \end{array}\)
Qua G1 kẻ B′C′//BC(B′∈AB,C′∈AC)
Qua G2 kẻ C′D′//DC(D′∈AD)
Khi đó thiết diện của hình chóp cắt bởi (G1G2G3) là ΔB′C′D′
Ta có:
\( \frac{{B'C'}}{{BC}} = \frac{{A{G_1}}}{{AM}} = \frac{2}{3} \Rightarrow {\rm{\Delta }}B'C'D'\)
đồng dạng với ΔBCD theo tỉ số \( \frac{2}{3}\)
\( \Rightarrow \frac{{{S_{{\rm{\Delta }}B'C'D'}}}}{{{S_{{\rm{\Delta }}BCD}}}} = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^2} = \frac{4}{9}\)
