Cho hàm số \(f\left( x \right) = k\sqrt[3]{x} + \sqrt x \) \((k \in R)\). Để \(f'\left( 1 \right) = \dfrac{3}{2}\) thì ta chọn giá trị k bằng bao nhiêu?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có:
\(f\left( x \right) = k\sqrt[3]{x} + \sqrt x \)
\(\Rightarrow f'\left( x \right) = {\left( {k\sqrt[3]{x} + \sqrt x } \right)^\prime } = k{\left( {\sqrt[3]{x}} \right)^\prime } + {\left( {\sqrt x } \right)^\prime }\)
Đặt \(y = \sqrt[3]{x} \)
\(\Rightarrow {y^3} = x \\\Rightarrow 3{y^2}y' = 1 \\\Rightarrow y' = \dfrac{1}{{3{y^2}}} = \dfrac{1}{{3{{\left( {\sqrt[3]{x}} \right)}^2}}}\)
\(\begin{array}{l} f'\left( x \right) = k{\left( {\sqrt[3]{x}} \right)^\prime } + {\left( {\sqrt x } \right)^\prime }\\ = \dfrac{k}{{3{{\left( {\sqrt[3]{x}} \right)}^2}}} + \dfrac{1}{{2\sqrt x }} \end{array}\)
Vậy để \(f'\left( 1 \right) = \dfrac{3}{2}\) thì \(\dfrac{k}{3} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2} \Rightarrow k = 3\)