Cho ABC và điểm M thỏa mãn\(\overrightarrow{\mathrm{BM}}=2 \overrightarrow{\mathrm{CM}}\) . F là phép dời hình. Gọi \(\mathrm{F}(\mathrm{A})=\mathrm{A}_{1} ; \mathrm{F}(\mathrm{B})=\mathrm{B}_{1} ; \mathrm{F}(\mathrm{C})=\mathrm{C}_{1} ; \mathrm{F}(\mathrm{M})=\mathrm{M}_{1}\) , biết \(\mathrm{AB}=4, \mathrm{BC}=5, \mathrm{CA}=6\) . Độ dài đoạn \(A_{1} M_{1}\) bằng:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTheo tính chất phép dời hình \(\mathrm{AM}=\mathrm{A}_{1} \mathrm{M}_{1}\)
\(\begin{array}{l} \overrightarrow{\mathrm{BM}}=2 \overrightarrow{\mathrm{CM}} \Leftrightarrow \overrightarrow{\mathrm{AM}}-\overrightarrow{\mathrm{AB}}=2(\overrightarrow{\mathrm{AM}}-\overrightarrow{\mathrm{AC}}) \Leftrightarrow \overrightarrow{\mathrm{AM}}=2 \overrightarrow{\mathrm{AC}}-\overrightarrow{\mathrm{AB}} \\ \Rightarrow \mathrm{AM}^{2}=4 \mathrm{AC}^{2}+\mathrm{AB}^{2}-4 \overrightarrow{\mathrm{AC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}(*) \end{array}\)
Ta có: 2\(\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{\mathrm{AC}}-\overrightarrow{\mathrm{AB}} \Rightarrow \mathrm{BC}^{2}=\mathrm{AC}^{2}+\mathrm{AB}^{2}-2 \overrightarrow{\mathrm{AC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}\) ,
\(\Rightarrow 2 \overrightarrow{\mathrm{AC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=\mathrm{AC}^{2}+\mathrm{AB}^{2}-\mathrm{BC}\)
thế vào (*) ta có:
\(\mathrm{AM}^{2}=2 \mathrm{AC}^{2}-\mathrm{AB}^{2}+2 \mathrm{BC}^{2}=72-16+50=106 \Rightarrow \mathrm{AM}=\sqrt{106}\)
