Một tháp làm nguội của một nhà máy có mặt cắt là hình hypebol có phương trình\(\frac{{{x^2}}}{{{{28}^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{{42}^2}}} = 1\)(Hình 17). Biết chiều cao của tháp là 150m và khoảng cách từ nóc tháp đến tâm đối xứng của hypebol bằng \(\frac{2}{3}\) khoảng cách từ tâm đối xứng đến đáy. Bán kính nóc và bán kính đáy của tháp bằng

Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ, điểm O là tâm đối xứng của hypebol:

Gọi hai điểm A và B như hình vẽ.

Đặt khoảng cách từ tâm đối xứng đến đáy là h. Khi đó khoảng cách từ nóc tháp đến tâm đối xứng là \(\frac{2}{3}h\)

Theo đầu bài ta có: \(h{\rm{ }} + \frac{2}{3}h = 150\)

\(\begin{array}{l} \frac{5}{3}h = 150\\ \Leftrightarrow {\rm{ }}h{\rm{ }} = {\rm{ }}150{\rm{ }}:\frac{5}{3}\\ \Leftrightarrow {\rm{ }}h{\rm{ }} = {\rm{ }}90. \end{array}\)

Ta có khoảng cách từ nóc tháp đến tâm đối xứng của hypebol cũng chính là khoảng cách từ điểm A đến trục hoành hay là tung độ của điểm A.

\( \Rightarrow {\rm{ }}{y_A}\; = \;\frac{2}{3}h = \frac{2}{3}.90 = 60\)

Vì A thuộc hypebol nên tọa độ điểm A thỏa mãn phương trình 

\(\begin{array}{l} \frac{{{x^2}}}{{{{28}^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{{42}^2}}} = 1\\ \Rightarrow \frac{{x_A^2}}{{{{28}^2}}} - \frac{{y_A^2}}{{{{42}^2}}} = 1\\ \Leftrightarrow \frac{{x_A^2}}{{{{28}^2}}} - \frac{{{{60}^2}}}{{{{42}^2}}} = 1\\ \Leftrightarrow \frac{{x_A^2}}{{{{28}^2}}} - \frac{{100}}{{49}} = 1\\ \frac{{x_A^2}}{{{{28}^2}}} = \frac{{149}}{{49}}\\ x_A^2 = 2384\\ {x_A} = 4\sqrt {149} \\ A\left( {4\sqrt {149} ;60} \right) \end{array}\)

Mặt khác điểm A thuộc đường tròn nóc nên khoảng cách từ A đến tâm đường tròn là bán kính của đường tròn và bằng \(4\sqrt {149} \)

Ta có khoảng cách từ nóc tháp đến tâm đối xứng của hypebol cũng chính là khoảng cách từ điểm B đến trục hoành hay là tung độ của điểm B.

\({ \Rightarrow {\rm{ }}{y_B}\; = {\rm{ }} - h{\rm{ }} = {\rm{ }} - 90.}\)

Vì B thuộc hypebol nên tọa độ điểm B thỏa mãn phương trình 

\(\begin{array}{l} \frac{{{x^2}}}{{{{28}^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{{42}^2}}} = 1\\ \Rightarrow \frac{{x_B^2}}{{{{28}^2}}} - \frac{{y_B^2}}{{{{42}^2}}} = 1\\ \Leftrightarrow \frac{{x_B^2}}{{{{28}^2}}} - \frac{{{{\left( { - 90} \right)}^2}}}{{{{42}^2}}} = 1\\ \Leftrightarrow \frac{{x_B^2}}{{{{28}^2}}} - \frac{{225}}{{49}} = 1\\ \Leftrightarrow \frac{{x_B^2}}{{{{28}^2}}} = \frac{{274}}{{49}}\\ \Leftrightarrow x_B^2 = 4384\\ \Leftrightarrow {x_B} = 4\sqrt {274} \\ \Rightarrow B\left( {4\sqrt {274} ;90} \right) \end{array}\)

Mặt khác điểm B thuộc đường tròn nóc nên khoảng cách từ B đến tâm đường tròn là bán kính của đường tròn và bằng \(4\sqrt {274} \)Vậy bán kính đường tròn nóc là \(4\sqrt {149} \) và bán kính đường tròn đáy là \(4\sqrt {274} \)