. Cho dãy số (xn) xác định bởi \(\mathrm{x}_{1}=\frac{1}{2}, \mathrm{x}_{\mathrm{n}+1}=\mathrm{x}_{\mathrm{n}}^{2}+\mathrm{x}_{\mathrm{n}}, \forall \mathrm{n} \geq 1\). \(\text { Đặt } S_{n}=\frac{1}{x_{1}+1}+\frac{1}{x_{2}+1}+\cdots+\frac{1}{x_{n}+1} . \text { Tính } \operatorname{limS}_{n} \text { . }\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\text { Từ công thức truy hồi ta có: } \mathrm{x}_{\mathrm{n}+1}>\mathrm{x}_{\mathrm{n}}, \forall \mathrm{n}=1,2, \ldots\)
\(\text { Nên dãy }\left(\mathrm{x}_{\mathrm{n}}\right) \text { là dãy số tăng. }\)
\(\text { Giả sử dãy }\left(\mathrm{x}_{\mathrm{n}}\right) \text { là dãy bị chặn trên, khi đó sẽ tồn tại } \lim \mathrm{x}_{\mathrm{n}}=\mathrm{x}\)
\(\begin{aligned} &\text { Với } x \text { là nghiệm của phương trình : } \mathrm{x}=\mathrm{x}^{2}+\mathrm{x} \Leftrightarrow \mathrm{x}=0<\mathrm{x}_{1} \text { vô lí }\\ &\text { Do đó dãy }\left(\mathrm{x}_{\mathrm{n}}\right) \text { không bị chặn, hay } \lim \mathrm{x}_{\mathrm{n}}=+\infty \text { . } \end{aligned}\)
\(\begin{array}{l} \text { Mặt khác: } \frac{1}{x_{n+1}}=\frac{1}{x_{n}\left(x_{n}+1\right)}=\frac{1}{x_{n}}-\frac{1}{x_{n}+1} \\ \text { Suy ra: } \frac{1}{x_{n}+1}=\frac{1}{x_{n}}-\frac{1}{x_{n+1}} \\ \text { Dẫn tới: } S_{n}=\frac{1}{x_{1}}-\frac{1}{x_{n+1}}=2-\frac{1}{x_{n+1}} \Rightarrow \lim S_{n}=2-\lim \frac{1}{x_{n+1}}=2 \end{array}\)
