Cho các số x, y thỏa mãn đẳng thức \(x^{4}+x^{2} y^{2}+y^{4}=4 ; x^{8}+x^{4} y^{4}+y^{8}=8\).
Hãy tính giá trị biểu thức \(A=x^{12}+x^{2} y^{2}+y^{12}.\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{aligned} &\left(x^{4}+x^{2} y^{2}+y^{4}\right)\left(x^{4}-x^{2} y^{2}+y^{4}\right)=\left(x^{4}+y^{4}\right)^{2}-x^{4} y^{4}\\ &=x^{8}+x^{4} y^{4}+y^{8}=8 \Rightarrow x^{4}-x^{2} y^{2}+y^{4}=2\\ &\text { Kết hợp với giả thiết suy ra } x^{4}+y^{4}=3 \text { và } x^{2} y^{2}=1\\ &\text { Ta có: } A=x^{12}+x^{2} y^{2}+y^{12}=\left(x^{4}\right)^{3}+\left(y^{4}\right)^{3}+X^{2} y^{2}\\ &A=\left(x^{4}+y^{4}\right) \cdot\left(x^{8}-x^{4} y^{4}+y^{8}\right)+x^{2} y^{2}\\ &=3 \cdot\left[\left(x^{4}+y^{4}\right)^{2}-3 x^{4} y^{4}\right]+1\\ &=3 \cdot\left[3^{2}-3\right]+1=19 \end{aligned}\)
